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  3. 判断下列结论是否正确?为什么? (I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)； (Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同

判断下列结论是否正确?为什么? (I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)； (Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同

admin2018-04-15  48
问题 判断下列结论是否正确?为什么?
    (I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；
    (Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；
    (Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0—δ，x0+δ，使得x∈(x0—δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．
选项
答案(I)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切． (Ⅱ)不正确．例如 f(x)=x2，[*]显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)． (Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0时 [*] 故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．
解析
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考研数学一

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