设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ．

admin2019-04-22 51

问题设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ．

选项

答案令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f’(ξ)=-f(ξ)cotξ．

解析

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