已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明： (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零； (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其

admin2017-01-14 79

问题已知m个向量α₁，…，α_m线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明：
(Ⅰ)如果等式k₁α₁+…+k_mα_m=0成立，则系数k₁，…，k_m或者全为零，或者全不为零；
(Ⅱ)如果等式k₁α₁+…+k_mα_m=0和等式l₁α₁+…+l_mα_m=0都成立，则

其中l₁≠0。

选项

答案(Ⅰ)假设存在某个k_I=0，则由k₁α₁+…+K_mα_m=0可得 k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1+…+k_mα_m=0。 (1) 因为任意m-1个向量都线性无关，所以必有k₁=…=k_i-1=k_i+1=…=k_m=0，即系数k₁，…，k_m全为零。所以系数k₁，…，k_m或者全为零，或者全不为零。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当l₁≠0时，系数l₁，…，l_m全不为零，所以 [*] 将其代入(1)式得 [*] 又因为任意m-1个向量都线性无关，所以[*]，即 [*]

解析

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考研数学一

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已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明： (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零； (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其

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