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  3. 已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明： (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零； (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其

已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明： (Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零； (Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其

admin2017-01-14  29
问题 已知m个向量α1，…，αm线性相关，但其中任意m-1个向量都线性无关，证明：
(Ⅰ)如果等式k1α1+…+kmαm=0成立，则系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零；
(Ⅱ)如果等式k1α1+…+kmαm=0和等式l1α1+…+lmαm=0都成立，则其中l1≠0。
选项
答案(Ⅰ)假设存在某个kI=0，则由k1α1+…+Kmαm=0可得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+kmαm=0。 (1) 因为任意m-1个向量都线性无关，所以必有k1=…=ki-1=ki+1=…=km=0，即系数k1，…，km全为零。 所以系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当l1≠0时，系数l1，…，lm全不为零，所以 [*] 将其代入(1)式得 [*] 又因为任意m-1个向量都线性无关，所以[*]，即 [*]
解析
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考研数学一

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