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证明:方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1,且若|A|=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若|A|=一1,则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1.
证明:方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1,且若|A|=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若|A|=一1,则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1.
admin
2015-08-17
82
问题
证明:方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1,且若|A|=1,则它的每一个元素等于自己的代数余子式,若|A|=一1,则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1.
选项
答案
必要性 A是正交矩阵[*]AA
T
=E→|A|=±1.若|A|=1,则AA
*
=|A|E=E,而已知AA
T
=E,从而有A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
;若|A|=一1,则AA
*
=|A|E=一E,A(一A
*
)=E,而已知AA
t
=E,从而有一A
*
=AT,即a
ij
=一A
ij
.充分性 |A|=1且a
ij
=A
ij
,则A
*
=A
T
,AA
*
=AA
T
=|A|E=E,A是正交阵,|A|=一1,且a
ij
=一A
ij
时,一A
*
=A
T
,AA
*
=|A|E=一E,即AA
T
=E,A是正交阵.
解析
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考研数学一
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