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设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(χ)dχ=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)+f(ξi)=
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(χ)dχ=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)+f(ξi)=
admin
2020-03-16
44
问题
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(χ)dχ=0.证明:
(1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0;
(2)存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f′(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2);
(3)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=f(ξ);
(4)存在η∈(a,b),使得f〞(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
选项
答案
(1)令F(χ)=∫
a
χ
f(t)dt,则F(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F′(χ)=f(χ). 故存在c∈(a,b),使得∫
a
b
f(χ)dχ=F(b)-F(a)=F′(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0. (2)令h(χ)=e
χ
f(χ),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, 而h′(χ)=e
χ
[f′(χ)+f(χ)]且e
χ
≠0,所以f′(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2). (3)令φ(χ)=e
-χ
[f′(χ)+f(χ)],φ(ξ
2
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=e
-χ
[f〞(χ)-f(χ)]且e
-χ
≠0,所以f〞(ξ)=f(ξ). (4)令g(χ)=e
-χ
f(χ),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g′(η
1
)=g′(η
2
)=0, 而g′(χ)=e
-χ
[f′(χ)-f(χ)]且e
-χ
≠0,所以f′(η
1
)-f(η
1
)=0,f′(η
2
)-f(η
2
)=0. 令P(z)一e-2X Ef’(z)一厂(z)],P(’7,)一垆(孕)一0, 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ′(η)=0, 而φ′(χ)=e
-2χ
[f〞(χ)-3f′(χ)+2f(χ)]且e
-2χ
≠0, 所以f〞(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学二
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