2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0．证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0； (2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)＋f(ξi)＝

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0．证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0； (2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)＋f(ξi)＝

admin2020-03-16  46
问题 设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，∫abf(χ)dχ＝0．证明：
    (1)存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0；
    (2)存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)；
    (3)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝f(ξ)；
    (4)存在η∈(a，b)，使得f〞(η)－3f′(η)＋2f(η)＝0．
选项
答案(1)令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F′(χ)＝f(χ)． 故存在c∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝F(b)－F(a)＝F′(c)(b－a)＝f(c)(b－a)＝0，即f(c)＝0． (2)令h(χ)＝eχf(χ)，因为h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)＝h′(ξ2)＝0， 而h′(χ)＝eχ[f′(χ)＋f(χ)]且eχ≠0，所以f′(ξi)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)． (3)令φ(χ)＝e－χ[f′(χ)＋f(χ)]，φ(ξ2)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝e－χ[f〞(χ)－f(χ)]且e－χ≠0，所以f〞(ξ)＝f(ξ)． (4)令g(χ)＝e－χf(χ)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g′(η1)＝g′(η2)＝0， 而g′(χ)＝e－χ[f′(χ)－f(χ)]且e－χ≠0，所以f′(η1)－f(η1)＝0，f′(η2)－f(η2)＝0． 令P(z)一e-2X Ef’(z)一厂(z)]，P(’7，)一垆(孕)一0， 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ′(η)＝0， 而φ′(χ)＝e－2χ[f〞(χ)－3f′(χ)＋2f(χ)]且e－2χ≠0， 所以f〞(η)－3f′(η)＋2f(η)＝0．
解析
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考研数学二

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