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  3. 设有n元实二次型(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ1＋a2χ3)2＋…＋(χn-1＋an-1χn)2＋(χn＋anχ1)2，其中ai(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(χ1，χ2，…，χn)为

设有n元实二次型(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ1＋a2χ3)2＋…＋(χn-1＋an-1χn)2＋(χn＋anχ1)2，其中ai(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(χ1，χ2，…，χn)为

admin2017-05-24  56
问题 设有n元实二次型(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ1＋a2χ3)2＋…＋(χn-1＋an-1χn)2＋(χn＋anχ1)2，其中ai(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(χ1，χ2，…，χn)为正定二次型。
选项
答案由题设条件可知，对于任意的χ1，χ2，…，χn，有f(χ1，χ2，…，χn)≥0，其中等号当且仅当 [*] 同时成立。上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 [*] 所以，当1＋(－1)n+1a1a2…an≠0时，对应任意的不全为零的χ1，χ2，…．χn，有f(χ1，χ2，…χn)＞0．即当a1a2…an≠(－1)n时，此时二次型f(χ1，χ2…χn)为正定二次型。
解析
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