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设有n元实二次型(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ1+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)2+(χn+anχ1)2,其中ai(i=1,2,…n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(χ1,χ2,…,χn)为
设有n元实二次型(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ1+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)2+(χn+anχ1)2,其中ai(i=1,2,…n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(χ1,χ2,…,χn)为
admin
2017-05-24
55
问题
设有n元实二次型(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)=(χ
1
+a
1
χ
2
)
2
+(χ
1
+a
2
χ
3
)
2
+…+(χ
n-1
+a
n-1
χ
n
)
2
+(χ
n
+a
n
χ
1
)
2
,其中a
i
(i=1,2,…n)为实数,试问:当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)为正定二次型。
选项
答案
由题设条件可知,对于任意的χ
1
,χ
2
,…,χ
n
,有f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)≥0,其中等号当且仅当 [*] 同时成立。上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零,即 [*] 所以,当1+(-1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,对应任意的不全为零的χ
1
,χ
2
,….χ
n
,有f(χ
1
,χ
2
,…χ
n
)>0.即当a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
时,此时二次型f(χ
1
,χ
2
…χ
n
)为正定二次型。
解析
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本试题收录于:
数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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