设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为一，记Z=X+Y，求 (Ⅰ)EZ，DZ； (Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．

admin2021-10-02 39

问题设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为一

，记Z=X+Y，求
(Ⅰ)EZ，DZ；
(Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．

选项

答案(Ⅰ)EZ=E(X+Y)=EX+EY=∫_-∞^+∞xf(x)dx+∫_-∞^+∞yf(-y)dy [*]∫_-∞^+∞xf(x)dx+∫_-∞^+∞(一u)f(u)(一du) =∫_-∞^+∞xf(x)dx—∫_-∞^+∞uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+[*]．又DY=E(Y²)一(EY)²，其中EY=一EX，E(Y²)=∫_-∞^+∞y²f(-y)dy=∫_-∞^+∞(一u)²f(u)(一du)=∫_-∞^+∞u²f(u)du=E(X²)，则DY=E(X²)一(一EX)²=E(X²)一(EX)²一DX=1， [*]

解析

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考研数学三

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设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为一，记Z=X+Y，求 (Ⅰ)EZ，DZ； (Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．

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