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(Ⅰ)求函数 所满足的二阶常系数线性微分方程; (Ⅱ)求(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)的表达式.
(Ⅰ)求函数 所满足的二阶常系数线性微分方程; (Ⅱ)求(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)的表达式.
admin
2016-10-20
71
问题
(Ⅰ)求函数
所满足的二阶常系数线性微分方程;
(Ⅱ)求(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)的表达式.
选项
答案
(Ⅰ)当-∞<x<∞时题设的幂级数可任意次逐项求导,且 [*] 由此可见y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程y’’-y=0. (Ⅱ)直接计算可得y(0)=1,y’(0)=[*],从而函数y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 [*] 的特解.注意特征方程λ
2
-1=0有二相异特征根λ
1
=1与λ
2
=-1,可见微分方程的通解为y(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
.利用初值y’(0)=1与y’(0)=[*].故(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)=[*]
解析
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考研数学三
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