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  3. 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-08-12  57
问题 设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．
选项
答案用定义证明． 设c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0，要推出每个ci=0． 先用Ak-1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα=0(因为AkX=0)，得到c1Ak-1α=0．又因为Ak-1α≠0，所以c1=0．上式变为c2Aa+…+ckAk-1α=0．再用Ak-2乘之，可得到c2=0．如此进行下去，可证明每个ci=0．
解析
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考研数学二

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