设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-08-12 87

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX=0的一个解，但是A^k-1α≠0．证明α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案用定义证明．设c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0，要推出每个c_i=0．先用A^k-1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα=0(因为A^kX=0)，得到c₁A^k-1α=0．又因为A^k-1α≠0，所以c₁=0．上式变为c₂Aa+…+c_kA^k-1α=0．再用A^k-2乘之，可得到c₂=0．如此进行下去，可证明每个c_i=0．

解析

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考研数学二

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设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A＝(aij)n×n为正定矩阵，令bij＝aijcicj(i，j＝1，2，…，n)，矩阵B＝(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．
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