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(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有
(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有
admin
2021-01-19
75
问题
(2002年)设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对于任意常数k，必有
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．
B、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关．
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关．
D、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关．
答案
A
解析
由已知，存在常数l
1
，l
1
，l
3
，使得
β
1
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
(*)
如果kβ
1
+β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则
存在常数m
1
，m
2
，m
3
，使得
kβ
1
+β
2
=m
1
α
1
+m
2
α
2
+m
3
α
3
(**)
将(*)式代入(**)式，可得
β
1
=(m
1
-kl
1
)α
1
+(m
1
-kl
1
)α
2
+(m
3
-kl
3
)α
3
即β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ
1
+β
2
必不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示．再根据结论(可证明或引用定理)：“若α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则向量β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示
α
1
，α
2
，α
3
，β线性无关”，便可推知α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关，因此，选项(A)正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zR84777K
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考研数学二
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