设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+x22+3x32-2x12+8x13经过可逆线性变换X=PY化为g(y1,y2,y3)=y12+5y22-3y32-4y1y2+2y2y3,求矩阵P.

admin2022-10-09  38

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+x22+3x32-2x12+8x13经过可逆线性变换X=PY化为g(y1,y2,y3)=y12+5y22-3y32-4y1y2+2y2y3,求矩阵P.

选项

答案令A=[*],X=[*],则f=XTAX, 配方得f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+[2(x1+x3)]2-x32, 令[*],即[*]或X=P1U, 其中P1=[*],且P1可逆, 于是f=XTAX[*]u12+u22-u32,即P1TAP1=[*] 令B=[*],则g=YTBY, 配方得g(y1,y2,y3)=(y1-2y2)2+(y2+y3)2-(2y3)2, 令[*],或[*]即Y=P2U, 其中P2=[*]且P2可逆,即P2TBP2=[*] 由P1TAP1=P2TBP2得(P2-1)TP1TAP1P2-1=B,或B=(P1P2-1)TA(P1P2-1). 所求的可逆矩阵 P=P1P2-1=[*]

解析
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