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设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+x22+3x32-2x12+8x13经过可逆线性变换X=PY化为g(y1,y2,y3)=y12+5y22-3y32-4y1y2+2y2y3,求矩阵P.
设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+x22+3x32-2x12+8x13经过可逆线性变换X=PY化为g(y1,y2,y3)=y12+5y22-3y32-4y1y2+2y2y3,求矩阵P.
admin
2022-10-09
35
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=5x
1
2
+x
2
2
+3x
3
2
-2x
1
2
+8x
1
3
经过可逆线性变换X=PY化为g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
1
2
+5y
2
2
-3y
3
2
-4y
1
y
2
+2y
2
y
3
,求矩阵P.
选项
答案
令A=[*],X=[*],则f=X
T
AX, 配方得f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
-x
2
)
2
+[2(x
1
+x
3
)]
2
-x
3
2
, 令[*],即[*]或X=P
1
U, 其中P
1
=[*],且P
1
可逆, 于是f=X
T
AX[*]u
1
2
+u
2
2
-u
3
2
,即P
1
T
AP
1
=[*] 令B=[*],则g=Y
T
BY, 配方得g(y
1
,y
2
,y
3
)=(y
1
-2y
2
)
2
+(y
2
+y
3
)
2
-(2y
3
)
2
, 令[*],或[*]即Y=P
2
U, 其中P
2
=[*]且P
2
可逆,即P
2
T
BP
2
=[*] 由P
1
T
AP
1
=P
2
T
BP
2
得(P
2
-1
)
T
P
1
T
AP
1
P
2
-1
=B,或B=(P
1
P
2
-1
)
T
A(P
1
P
2
-1
). 所求的可逆矩阵 P=P
1
P
2
-1
=[*]
解析
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考研数学二
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