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设二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋x22＋3x32－2x12＋8x13经过可逆线性变换X＝PY化为g(y1，y2，y3)＝y12＋5y22－3y32－4y1y2＋2y2y3，求矩阵P．
设二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋x22＋3x32－2x12＋8x13经过可逆线性变换X＝PY化为g(y1，y2，y3)＝y12＋5y22－3y32－4y1y2＋2y2y3，求矩阵P．
admin
2022-10-09
74
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)＝5x
1
2
＋x
2
2
＋3x
3
2
－2x
1
2
＋8x
1
3
经过可逆线性变换X＝PY化为g(y
1
，y
2
，y
3
)＝y
1
2
＋5y
2
2
－3y
3
2
－4y
1
y
2
＋2y
2
y
3
，求矩阵P．
选项
答案
令A＝[*]，X＝[*]，则f＝X
T
AX， 配方得f(x
1
，x
2
，x
3
)＝(x
1
－x
2
)
2
＋[2(x
1
＋x
3
)]
2
－x
3
2
， 令[*]，即[*]或X＝P
1
U， 其中P
1
＝[*]，且P
1
可逆， 于是f＝X
T
AX[*]u
1
2
＋u
2
2
－u
3
2
，即P
1
T
AP
1
＝[*] 令B＝[*]，则g＝Y
T
BY， 配方得g(y
1
，y
2
，y
3
)＝(y
1
－2y
2
)
2
＋(y
2
＋y
3
)
2
－(2y
3
)
2
， 令[*]，或[*]即Y＝P
2
U， 其中P
2
＝[*]且P
2
可逆，即P
2
T
BP
2
＝[*] 由P
1
T
AP
1
＝P
2
T
BP
2
得(P
2
－1
)
T
P
1
T
AP
1
P
2
－1
＝B，或B＝(P
1
P
2
－1
)
T
A(P
1
P
2
－1
)． 所求的可逆矩阵 P＝P
1
P
2
－1
＝[*]
解析
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考研数学二
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