设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是r阶单位矩阵.

admin2021-07-27  41

问题 设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是r阶单位矩阵.

选项

答案由A2=A,知A的特征值的取值为1,0,由A-A2=A(E-A)=0知r(A)+r(E-A)≤n,r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n,故,r(A)+r(E-A)=n,又r(A)=r,从而r(E-A)=n-r.对A=1,(E-A)x=0,因r(E-A)=n-r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ1,ξ2,…,ξr;对λ=0,(0E-A)x=0,即Ax=0,因,r(A)=r,故有n-r个线性无关特征向量,设为ξr+1,ξ,…,ξn.故存在可逆矩阵P=[ξ1,ξ2,…,ξn],使得[*]

解析
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