2. 考研
  3. 已知f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f’(0)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使f”(ξ)-f(ξ)=0．

已知f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f’(0)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使f”(ξ)-f(ξ)=0．

admin2022-06-04  73
问题 已知f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f’(0)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使f”(ξ)-f(ξ)=0．
选项
答案令G(x)=f(x)e-x，则G(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且G(0)=G(1)=0．根据罗尔定理得，至少存在一点η∈(0，1)，使得G’(η)=0，即 [f’(η)-f(η)]e-η=0 故有f’(η)-f(η)=0． 令F(x)=[f’(x)-f(x)]ex，因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，所以F(x)在[0，7]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0．由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0． 由F’(x)=[f”(x)-f(x)]ex得，F’(ξ)=[f”(ξ)-f(ξ)]eξ，故在区间(0，1)内至少有一点ξ，使得f”(ξ)-f(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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