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已知f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,f’(0)=0,证明:在区间(0,1)内至少有一点ξ,使f”(ξ)-f(ξ)=0.
已知f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,f’(0)=0,证明:在区间(0,1)内至少有一点ξ,使f”(ξ)-f(ξ)=0.
admin
2022-06-04
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问题
已知f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,f’(0)=0,证明:在区间(0,1)内至少有一点ξ,使f”(ξ)-f(ξ)=0.
选项
答案
令G(x)=f(x)e
-x
,则G(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且G(0)=G(1)=0.根据罗尔定理得,至少存在一点η∈(0,1),使得G’(η)=0,即 [f’(η)-f(η)]e
-η
=0 故有f’(η)-f(η)=0. 令F(x)=[f’(x)-f(x)]e
x
,因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以F(x)在[0,7]上连续,在(0,η)内可导,且F(0)=F(η)=0.由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0. 由F’(x)=[f”(x)-f(x)]e
x
得,F’(ξ)=[f”(ξ)-f(ξ)]e
ξ
,故在区间(0,1)内至少有一点ξ,使得f”(ξ)-f(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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