求常数k的取值范围,使得f(x)=kln(1+x)-arctanx当x>0时单调增加.

admin2015-05-07  35

问题 求常数k的取值范围,使得f(x)=kln(1+x)-arctanx当x>0时单调增加.

选项

答案x∈(0,+∞)时f(x)单调增加[*]f’(x)≥0(x∈(0,+∞))且在(0,+∞)的[*] 子区间上f’(x)≠0. f(x)=kln(1+x)-arctanx则 [*] 若k≤0,则f’(x)<0(x>0),于是只需考察k>0的情形. 令g(x)=kx2-x+k-1,则当x>0时f’(x)与g(x)同号. 由于g(x)满足 [*] 由此可见g(x)在(0,+∞)上的最小值[*]为使[*]必须且只需正数k满足[*]即使得f(x)=kln(1+x)-arctanx当x>0时是单调增函数的k是大于或等于[*]的一切正数.

解析
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