2. 考研
  3. 求下列曲面积分： (Ⅰ)I=xyzdxdy +xzdydz+z2dzdx，其中x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)； (Ⅱ)I=xydzdx，其中S是由曲线x=ey2(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面

求下列曲面积分： (Ⅰ)I=xyzdxdy +xzdydz+z2dzdx，其中x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)； (Ⅱ)I=xydzdx，其中S是由曲线x=ey2(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面

admin2019-02-26  31
问题 求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=xyzdxdy +xzdydz+z2dzdx，其中x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)；

(Ⅱ)I=xydzdx，其中S是由曲线x=ey2(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面，取外侧．
选项
答案(Ⅰ)本题实际上可以分三个积分计算，即I=I1+I2+I3． 将∑在yz平面上的投影记为Dyz，则Dyz：0≤y≤h，－a≤z≤a．注意到∑的法线方向与x轴正方向夹锐角，则I2=[*]dydz． 此时已化成了二重积分，注意到Dyz关于y轴对称，而被积函数为z的香函数。故I2=0． 由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面积为零)，故I3=[*]z2dzdx=0，而 [*] 所以， I=I1+I2+I3=[*]h2a3． [*] (Ⅱ)曲面S的方程是：x=ey2+z2(y2+z2≤a2)，见图9．61．S在yz平面上的投影区域Dyz易求， Dyz：y2+z2≤a2，x=0，又[*]=2yey2+z2， S的法向量与x轴正向成钝角，于是 [*]
解析
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考研数学一

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