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  3. 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b－ln2a＞。

设e＜a＜b＜e2，证明ln2b－ln2a＞。

admin2014-01-26  46
问题 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b－ln2a＞。
选项
答案[详解1] 对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得 [*] 设[*]， 当t＞e时，ψ’(t)＜0，所以ψ(t)单调减少，从而ψ(ξ)＞ψ(e2)，即 [*]， 故[*]。 [详解2] 设[*]，则 [*]， 所以 当x＞e时，ψ"(x)＜0，故ψ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时， [*]， 即 当e＜x＜e2时，ψ(x)单调增加．因此当e＜x＜e2时，ψ(b)＞ψ(a)， 即[*]。
解析 [分析]  根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明．
[评注]  本题也可设辅助函数为ψ(x)＝ln2x－ln2a－，e＜a＜x＜e2或ψ(x)＝ln26－ln2x－，e＜x＜b＜e2，再用单凋性进行证明．
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考研数学二

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