设e＜a＜b＜e2，证明ln2b－ln2a＞。

admin2014-01-26 126

问题设e＜a＜b＜e²，证明ln²b－ln²a＞

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选项

答案[详解1] 对函数ln²x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得 [*] 设[*]，当t＞e时，ψ’(t)＜0，所以ψ(t)单调减少，从而ψ(ξ)＞ψ(e²)，即 [*]，故[*]。 [详解2] 设[*]，则 [*]，所以当x＞e时，ψ"(x)＜0，故ψ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e²时， [*]，即当e＜x＜e²时，ψ(x)单调增加．因此当e＜x＜e²时，ψ(b)＞ψ(a)，即[*]。

解析 [分析] 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明．
[评注] 本题也可设辅助函数为ψ(x)＝ln²x－ln²a－