(99年)设生产某种产品必须投入两种要素，χ1和χ2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q＝2χ1αχ2β，其中α，β为正常数，且α＋β＝1，假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?

admin2021-01-25 79

问题 (99年)设生产某种产品必须投入两种要素，χ₁和χ₂分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q＝2χ₁^αχ₂^β，其中α，β为正常数，且α＋β＝1，假设两种要素的价格分别为p₁和p₂，试问：当产量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?

选项

答案需要在产出量2χ₁^αχ₂^β＝12的条件下，求总费用p₁χ₁＋p₂χ₂的最小值，为此作拉格朗日函数． F(χ₁，χ₂，λ)＝p₁χ₁＋p₂χ₂＋λ(12－2χ₁^αχ₂^β) 令[*] 由(1)和(2)得[*]将χ₁代入(3)得 [*] 因驻点唯一，且实际问题存在最小值．

解析

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考研数学三

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