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(2015年)已知函数f(χ,y)满足f〞(χ,y)=2(y+1)eχ,f′(χ,0)=(χ+1)eχ,f(0,y)=y2+2y,求f(χ,y)的极值.
(2015年)已知函数f(χ,y)满足f〞(χ,y)=2(y+1)eχ,f′(χ,0)=(χ+1)eχ,f(0,y)=y2+2y,求f(χ,y)的极值.
admin
2021-01-19
74
问题
(2015年)已知函数f(χ,y)满足f〞(χ,y)=2(y+1)e
χ
,f′(χ,0)=(χ+1)e
χ
,f(0,y)=y
2
+2y,求f(χ,y)的极值.
选项
答案
由f〞
χy
=2(y+1)e
χ
,得f′
χ
(y+1)
2
e
χ
+φ(χ). 因为f′
χ
(χ,0)=(χ+1)e
χ
,所以e
χ
+φ(χ)=(χ+1)e
χ
. 得φ(χ)=χe
χ
,从而f′
χ
=(y+1)
2
e
χ
+χe
χ
. 对χ积分得f(χ,y)=(y+1)
2
e
χ
+(χ-1)e
χ
+φ(y). 因为f(0,y)=y
2
+2y,所以φ(y)=0,从而 f(χ,y)=(χ+y
2
+2y)e
χ
于是f′
y
=(2y+2)e
χ
,f〞
χχ
=(χ+y
2
+2y+2)e
χ
,f〞=2e
χ
. 令f′
χ
=0,f′
y
=0,得驻点(0,-1),所以 A=f〞
χχ
(0,-1)=1,B=f〞
χy
(0,-1)=0,C=f〞
yy
(0,-1)=2. 由于AC-B
2
>0,A>0,所以极小值为f(0,-1)=-1.
解析
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