(2015年)已知函数f(χ，y)满足f〞(χ，y)＝2(y＋1)eχ，f′(χ，0)＝(χ＋1)eχ，f(0，y)＝y2＋2y，求f(χ，y)的极值．

admin2021-01-19 55

问题 (2015年)已知函数f(χ，y)满足f〞(χ，y)＝2(y＋1)e^χ，f′(χ，0)＝(χ＋1)e^χ，f(0，y)＝y²＋2y，求f(χ，y)的极值．

选项

答案由f〞_χy＝2(y＋1)e^χ，得f′_χ(y＋1)²e^χ＋φ(χ)．因为f′_χ(χ，0)＝(χ＋1)e^χ，所以e^χ＋φ(χ)＝(χ＋1)e^χ．得φ(χ)＝χe^χ，从而f′_χ＝(y＋1)²e^χ＋χe^χ．对χ积分得f(χ，y)＝(y＋1)²e^χ＋(χ－1)e^χ＋φ(y)．因为f(0，y)＝y²＋2y，所以φ(y)＝0，从而 f(χ，y)＝(χ＋y²＋2y)e^χ 于是f′_y＝(2y＋2)e^χ，f〞_χχ＝(χ＋y²＋2y＋2)e^χ，f〞＝2e^χ．令f′_χ＝0，f′_y＝0，得驻点(0，－1)，所以 A＝f〞_χχ(0，－1)＝1，B＝f〞_χy(0，－1)＝0，C＝f〞_yy(0，－1)＝2．由于AC－B²＞0，A＞0，所以极小值为f(0，－1)＝－1．

解析

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考研数学二

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