设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为fy(y)=,记Z=X+Y, (Ⅰ)求P{Z≤1/2|X=0}; (Ⅱ)求z的概率密度.

admin2020-02-27  18

问题 设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1,0,1),Y的概率密度为fy(y)=,记Z=X+Y,
(Ⅰ)求P{Z≤1/2|X=0};
(Ⅱ)求z的概率密度.

选项

答案(Ⅰ)因为Z=X+Y,所以 [*] (Ⅱ)因为Z=X+Y,故随机变量Z的分布函数F(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}. 显然当z≥2时,X,Y的所有取值均满足上式,即F(z)=1; 相反当z<-1时,有F(z)=0;而当一1≤z<2时,F(z)=P{X+Y≤z} =P{Y≤z+1|X=-1}P{X=-1}+P{Y≤z|X=0}P{X=0}+P{Y≤z-1|X=1} P{X=1} =1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1}). 当-1≤z<0时,F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+0+0)=1/3∫0z+1 1dy=1/3(z+1); 当0≤z<1时F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+0)=1/3(1+∫0z)=1/3(z+1); 当1≤z<2时,F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1}) =1/3(1+1+∫0z-11dy)=1/3(z+1). 故可得到随机变量Z的分布函数和概率密度分别为 [*]

解析
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