2. 考研
  3. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1，0，1)，Y的概率密度为fy(y)=，记Z=X+Y， (Ⅰ)求P{Z≤1／2｜X=0}； (Ⅱ)求z的概率密度．

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1，0，1)，Y的概率密度为fy(y)=，记Z=X+Y， (Ⅰ)求P{Z≤1／2｜X=0}； (Ⅱ)求z的概率密度．

admin2020-02-27  23
问题 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=1/3(i=-1，0，1)，Y的概率密度为fy(y)=，记Z=X+Y，
(Ⅰ)求P{Z≤1／2｜X=0}；
(Ⅱ)求z的概率密度．
选项
答案(Ⅰ)因为Z=X+Y，所以 [*] (Ⅱ)因为Z=X+Y，故随机变量Z的分布函数F(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}． 显然当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，即F(z)=1； 相反当z＜-1时，有F(z)=0；而当一1≤z＜2时，F(z)=P{X+Y≤z} =P{Y≤z+1｜X=-1}P{X=-1}+P{Y≤z｜X=0}P{X=0}+P{Y≤z-1｜X=1} P{X=1} =1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1})． 当-1≤z＜0时，F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+0+0)=1/3∫0z+1 1dy=1/3(z+1)； 当0≤z<1时F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+0)=1/3(1+∫0z)=1/3(z+1)； 当1≤z＜2时，F(z)=1/3(P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1}) =1/3(1+1+∫0z-11dy)=1/3(z+1)． 故可得到随机变量Z的分布函数和概率密度分别为 [*]
解析
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考研数学三

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