2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，且A2＝4E，又tr(A)＝2，且α＝满足A*α＝4α． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形．

设A为3阶实对称矩阵，且A2＝4E，又tr(A)＝2，且α＝满足A*α＝4α． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形．

admin2021-03-10  102
问题 设A为3阶实对称矩阵，且A2＝4E，又tr(A)＝2，且α＝满足A*α＝4α．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)令AX＝λX，由(A2－4E)X＝(λ2－4)X＝0且X≠0得λ2－4＝0，即λ＝－2或λ＝2； 由tr(A)＝2得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝2； 由｜A｜＝－8得A*的特征值为4，－4， 4， 由A*α＝4α得α＝[*]为矩阵A的属于特征值λ1＝－2的特征向量． 令X＝[*]为矩阵A的属于特征值λ2＝λ3＝2的特征向量， 因为AT＝A，所以αTX＝0，即x1＋x2＝0． 从而矩阵A的属于特征值λ2＝λ3＝2的线性无关的特征向量为α2＝[*] 令P＝[*]，由P－1AP＝[*]得[*] (Ⅱ)显然α＝[*]两两正交， 所以令γ1＝[*]
解析
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考研数学二

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