设A为3阶实对称矩阵,且A2=4E,又tr(A)=2,且α=满足A*α=4α. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形.

admin2021-03-10  59

问题 设A为3阶实对称矩阵,且A2=4E,又tr(A)=2,且α=满足A*α=4α.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求正交矩阵Q使得二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形.

选项

答案(Ⅰ)令AX=λX,由(A2-4E)X=(λ2-4)X=0且X≠0得λ2-4=0,即λ=-2或λ=2; 由tr(A)=2得A的特征值为λ1=-2,λ2=λ3=2; 由|A|=-8得A*的特征值为4,-4, 4, 由A*α=4α得α=[*]为矩阵A的属于特征值λ1=-2的特征向量. 令X=[*]为矩阵A的属于特征值λ2=λ3=2的特征向量, 因为AT=A,所以αTX=0,即x1+x2=0. 从而矩阵A的属于特征值λ2=λ3=2的线性无关的特征向量为α2=[*] 令P=[*],由P-1AP=[*]得[*] (Ⅱ)显然α=[*]两两正交, 所以令γ1=[*]

解析
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