二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’＋5y＝excos2x的通解为y(x)＝__________。

admin2019-12-24 138

问题二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’＋5y＝e^xcos²x的通解为y(x)＝__________。

选项

答案[*]，C₁，C₂为任意常数

解析该方程所对应的齐次方程的特征方程为λ²－2λ＋5＝0，解得特征根为λ＝1±2i，可知齐次方程的通解为e^x(C₁cos2x＋C₂sin2x)。
该方程的非齐次项

根据叠加原理

此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得
y’’－2y’＋5y＝1／2e^x， ①
y’’－2y’＋5y＝1／2e^xcos2x， ②
根据特征根λ＝1±2i可知，方程①的特解可设为y₁^*＝Ce^x代入方程①解得C＝1／8，故y₁^*＝1／8e^x；方程②的特解可设为
y₂^*＝xe^x(Acos2x＋Bsin2x)，
代入方程②解得A＝0，B＝1／8，故y₂^*＝1／8xe^xsin2x。
所以y^*(x)＝y₁^*＋y₂^*＝1／8e^x＋1／8xe^xsin2x。
故该方程的通解为
e^x(C₁cos2x＋C₂sin2x)＋1／8e^x＋1／8xe^xsin2x，C₁，C₂为任意常数。
本题考查微分方程的解的结构，即解的叠加原理。方程最终的解是对应齐次微分方程的通解以及对应特解的和。

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考研数学三

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