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  3. 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’＋5y＝excos2x的通解为y(x)＝__________。

二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’＋5y＝excos2x的通解为y(x)＝__________。

admin2019-12-24  44
问题 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’＋5y＝excos2x的通解为y(x)＝__________。
选项
答案[*]，C1，C2为任意常数
解析 该方程所对应的齐次方程的特征方程为λ2－2λ＋5＝0，解得特征根为λ＝1±2i，可知齐次方程的通解为ex(C1cos2x＋C2sin2x)。
该方程的非齐次项

根据叠加原理

此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得
y’’－2y’＋5y＝1／2ex，         ①
y’’－2y’＋5y＝1／2excos2x，    ②
根据特征根λ＝1±2i可知，方程①的特解可设为y1*＝Cex代入方程①解得C＝1／8，故y1*＝1／8ex；方程②的特解可设为
y2*＝xex(Acos2x＋Bsin2x)，
代入方程②解得A＝0，B＝1／8，故y2*＝1／8xexsin2x。
所以y*(x)＝y1*＋y2*＝1／8ex＋1／8xexsin2x。
故该方程的通解为
ex(C1cos2x＋C2sin2x)＋1／8ex＋1／8xexsin2x，C1，C2为任意常数。
本题考查微分方程的解的结构，即解的叠加原理。方程最终的解是对应齐次微分方程的通解以及对应特解的和。
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考研数学三

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