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  3. 设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

admin2021-03-10  104
问题 设a1＞1，又an＋1＝1+1na．
(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；
(Ⅱ)存在，并求此极限．
选项
答案(Ⅰ)令f(x)＝x－1－lnx(x＞0)， 由f’(x)＝[*]得x＝1， 当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时，f’(x)＞0， 则x＝1为f(x)在(0，＋∞)内的最小值点，最小值为m＝f(1)＝0， 故方程x＝1＋lnx只有唯一解x＝1． (Ⅱ)已知a1＞1， 设ak1，则ak＋1＝1＋lnak＞1， 由数学归纳法，对任意的n，有an＞1； 由拉格朗日中值定理得 lnan＝lnan－lnl＝[*]＜an－1，其中1＜ξ＜an， 于是an＋1＝1＋lnan＜1＋an－1＝an，即数列{an}单调递减， 故极限[*]存在． 令[*]由an＋1＝1＋1nan得A＝1＋lnA，解得A＝1．
解析
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考研数学二

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