设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

admin2021-03-10 101

问题设a₁＞1，又a_n＋1＝1+1na．
(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；
(Ⅱ)

存在，并求此极限．

选项

答案(Ⅰ)令f(x)＝x－1－lnx(x＞0)，由f’(x)＝[*]得x＝1，当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时，f’(x)＞0，则x＝1为f(x)在(0，＋∞)内的最小值点，最小值为m＝f(1)＝0，故方程x＝1＋lnx只有唯一解x＝1． (Ⅱ)已知a₁＞1，设a_k1，则a_k＋1＝1＋lna_k＞1，由数学归纳法，对任意的n，有a_n＞1；由拉格朗日中值定理得 lna_n＝lna_n－lnl＝[*]＜a_n－1，其中1＜ξ＜a_n，于是a_n＋1＝1＋lna_n＜1＋a_n－1＝a_n，即数列{a_n}单调递减，故极限[*]存在．令[*]由a_n＋1＝1＋1na_n得A＝1＋lnA，解得A＝1．

解析

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考研数学二

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