设a1＞1，又an＋1＝1+1na． (Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

admin2021-03-10 82

问题设a₁＞1，又a_n＋1＝1+1na．
(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；
(Ⅱ)

存在，并求此极限．

选项

答案(Ⅰ)令f(x)＝x－1－lnx(x＞0)，由f’(x)＝[*]得x＝1，当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时，f’(x)＞0，则x＝1为f(x)在(0，＋∞)内的最小值点，最小值为m＝f(1)＝0，故方程x＝1＋lnx只有唯一解x＝1． (Ⅱ)已知a₁＞1，设a_k1，则a_k＋1＝1＋lna_k＞1，由数学归纳法，对任意的n，有a_n＞1；由拉格朗日中值定理得 lna_n＝lna_n－lnl＝[*]＜a_n－1，其中1＜ξ＜a_n，于是a_n＋1＝1＋lna_n＜1＋a_n－1＝a_n，即数列{a_n}单调递减，故极限[*]存在．令[*]由a_n＋1＝1＋1na_n得A＝1＋lnA，解得A＝1．

解析

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考研数学二

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已知f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数的一个原函数，且f(0)=0。证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点。

(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．

已知曲线L的方程(t≥0)。讨论L的凹凸性；

[]=1／6。方法二：因sinx=x－[]x3+o(x3)，sin(sinx)=sinx－[]sin3x+o(sin3x)。则[]

设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=_______。

设A为三阶非零矩阵，B=，且AB=0，则Ax=0的通解是______.

设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，-a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1-a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=_____

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()

求满足初始条件y"+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．

设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．

ADSL可以与普通电话共用一条电话线，并能为用户提供固定的数据传输速率。()

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根据个人所得税法律制度的规定．下列各项中纳税人应当按照规定到主管税务机关办理纳税申报的有()。

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直接经验和间接经验的区别在于(　)。

若f’’(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内()

设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()．

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[*]=1／6。方法二：因sinx=x－[*]x3+o(x3)，sin(sinx)=sinx－[*]sin3x+o(sin3x)。则[*]

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