2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3f(x)dx， 证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3f(x)dx， 证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

admin2020-03-16  58
问题 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
    f(1)=3f(x)dx，
证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．
选项
答案由积分中值定理，得f(1)=[*]． 令F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[ξ1，1]上连续，在(ξ1，1)内可导，且 F(1)=f(1)=f(1)=[*]f(ξ1)=F(ξ1)． 由罗尔定理，在(ξ1，1)内至少有一点ξ，使得 F’(ξ)=[*][f’(ξ)一2ξf(ξ)]=0， 于是 f’(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ1，1)[*](0，1)．
解析
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考研数学二

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