[2014年] 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加, 0≤g(x)≤1.证明: ∫aa-∫abg(t)dtf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx.

admin2019-04-17  50

问题 [2014年]  设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,
0≤g(x)≤1.证明:
aa-∫abg(t)dtf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx.

选项

答案考虑到待证不等式的构造及其性质:当a=b时,不等式化为等式,可将b换为x.令 φ(x)=∫axf(u)g(u)du-∫aa+∫axg(t)dtf(u)du, 则φ(a)=0,且φ′(x)=f(x)g(x)-f[a+∫axg(t)dt]g(x).由(I)知,∫axg(t)dt≤x-a, 故a+∫axg(t)dt≤a+x—a=x.由f(x)单调增加,有f(x)≥f[a+∫axg(t)dt],于是 φ′(x)=f(x)g(x)一f[a+∫axg(t)dt]g(x)≥0. 故φ(x)单调不减,又φ(a)=0,故φ(b)≥0,即∫a+∫abg(t)dtbf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx .

解析
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