2. 考研
  3. [2014年] 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加， 0≤g(x)≤1．证明： ∫aa-∫abg(t)dtf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

[2014年] 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加， 0≤g(x)≤1．证明： ∫aa-∫abg(t)dtf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

admin2019-04-17  80
问题 [2014年]  设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，
0≤g(x)≤1．证明：
∫aa-∫abg(t)dtf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案考虑到待证不等式的构造及其性质：当a=b时，不等式化为等式，可将b换为x．令 φ(x)=∫axf(u)g(u)du－∫aa+∫axg(t)dtf(u)du， 则φ(a)=0，且φ′(x)=f(x)g(x)－f[a+∫axg(t)dt]g(x)．由(I)知，∫axg(t)dt≤x－a， 故a+∫axg(t)dt≤a+x—a=x．由f(x)单调增加，有f(x)≥f[a+∫axg(t)dt]，于是 φ′(x)=f(x)g(x)一f[a+∫axg(t)dt]g(x)≥0． 故φ(x)单调不减，又φ(a)=0，故φ(b)≥0，即∫a+∫abg(t)dtbf(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx ．
解析
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考研数学二

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