2. 考研
  3. (2001年试题，八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆，在融化过程中其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

(2001年试题，八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆，在融化过程中其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

admin2021-01-15  10
问题 (2001年试题，八)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆，在融化过程中其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
选项
答案本题关键是要导出h(t)所满足的方程，根据题意，设V为雪堆的体积，S为雪堆的侧面积，则雪堆的侧面在xOy平面上的投影为[*]则[*]又由题设知[*]因此[*]从而[*]结合初始条件h(0)=130，得C=130，于是[*]不难算出t=100(小时)，雪堆全部融化．
解析 本题综合考查了曲面面积和立体体积的计算．本题求解时可能出现的错误有：(1)审题错误，误认为侧面面积满足方程(2)想从比例关系一0．9S中求V，且关系式中的负号易漏；(3)将t看成与x，y有关，计算三重积分时，不知如何处理t与x，y的关系．
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考研数学一

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