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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f′(ξ)=-1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f′(ξ)=-1.
admin
2019-12-26
60
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ
2
)(arctanξ)f′(ξ)=-1.
选项
答案
令F(x)=e
f(x)
arctanx,x∈[0,1]则[*] 由定积分中值定理,存在[*]使[*]即F(x
0
)=F(1). 显然F(x)在[x
0
,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点ξ∈(x
0
,1)[*](0,1),使 F′(ξ)=0, 即 (1+ξ)(arctanξ)f′(ξ)=-1.
解析
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考研数学三
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