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设连接两点A(0,1)与B(1,0)的一条凸弧,点P(x,y)为凸弧AB上的任意一点.已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.
设连接两点A(0,1)与B(1,0)的一条凸弧,点P(x,y)为凸弧AB上的任意一点.已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.
admin
2019-01-05
103
问题
设连接两点A(0,1)与B(1,0)的一条凸弧,点P(x,y)为凸弧AB上的任意一点.已知凸弧与弦AP之间的面积为x
3
,求此凸弧的方程.
选项
答案
设凸弧的方程为y=f(x).P(x,f(x)),则过P作x轴的垂线与x轴的交点为C(x,0).因梯形OAPC的面积为[*].x.[1+f(x)].所以, x
3
=∫
0
x
f(t)dt—[*][1+f(x)]. 又因为凸弧为光滑的曲线,所以它是可导的. 两边对x求导,得y=f(x)所满足的微分方程xy’—y=一6x
2
一1,即y’
2
一[*],则其通解为 y=[*]=cx一6x
2
+1, 其中c为任意常数. 由题设知,曲线过点B(1,0),即y(1)=0.代入通解中,得c=5,故所求曲线为y=5x—6x
2
+1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3SW4777K
0
考研数学三
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