设连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条凸弧，点P(x，y)为凸弧AB上的任意一点．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．

admin2019-01-05 77

问题设连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条凸弧，点P(x，y)为凸弧AB上的任意一点．已知凸弧与弦AP之间的面积为x³，求此凸弧的方程．

选项

答案设凸弧的方程为y=f(x)．P(x，f(x))，则过P作x轴的垂线与x轴的交点为C(x，0)．因梯形OAPC的面积为[*]．x．[1+f(x)]．所以， x³=∫₀^xf(t)dt—[*][1+f(x)]．又因为凸弧为光滑的曲线，所以它是可导的．两边对x求导，得y=f(x)所满足的微分方程xy’—y=一6x²一1，即y’²一[*]，则其通解为 y=[*]=cx一6x²+1，其中c为任意常数．由题设知，曲线过点B(1，0)，即y(1)=0．代入通解中，得c=5，故所求曲线为y=5x—6x²+1．

解析

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考研数学三

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