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设ξ0=(1,-1,1,-1)T是线性方程组 的一个解向量,试求 (Ⅰ)方程组(*)的全部解; (Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解.
设ξ0=(1,-1,1,-1)T是线性方程组 的一个解向量,试求 (Ⅰ)方程组(*)的全部解; (Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解.
admin
2020-07-31
36
问题
设ξ
0
=(1,-1,1,-1)
T
是线性方程组
的一个解向量,试求
(Ⅰ)方程组(*)的全部解;
(Ⅱ)方程组满足x
2
=x
3
的全部解.
选项
答案
(Ⅰ)将ξ
0
代入方程组,得-λ+μ=0,即λ=μ,代入增广矩阵,并作初等行变换, [*] 当λ≠2时,r(A)=r(A[*]b)=3. Ax=0有基础解系ξ=(-2,1,-1,2)
T
,Ax=b有特解η=(-1,0,0,1)
T
, Ax=b的通解为 kξ+η=k(-2,1,-1,2)
T
+(-1,0,0,1)
T
=(-2k-1,k,-k,2k+1)
T
, 其中k是任意常数. 当λ=2时,r(A)=r(A[*]b)=2. Ax=0有基础解系ξ
1
=(-4,1,0,2)
T
,ξ
2
=(-2,0,1,0)
T
,Ax=b有特解η=(-1,0,0,1)
T
, Ax=b的通解为 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+η=k
1
(-4,1,0,2)
T
+k
2
(-2,0,1,0)+(-1,0,0,1)
T
=(-4k
1
-2k
2
-1,k
1
,k
2
,2k
1
+1)
T
, 其中k
1
,k
2
是任意常数. (Ⅱ)当λ≠2时,由x
2
=x
3
,有k=-k,得k=0.故满足x
2
=x
3
的全部解为(-1,0,0,1)
T
. 当λ=2时,由x
2
=x
3
,有k
1
=k
2
. 故满足x
2
=x
3
的全部解为(-6k
1
-1,k
1
,k
1
,2k
1
+1)
T
,其中k
1
是任意常数.
解析
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0
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