设ξ0=(1,-1,1,-1)T是线性方程组 的一个解向量,试求 (Ⅰ)方程组(*)的全部解; (Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解.

admin2020-07-31  18

问题 设ξ0=(1,-1,1,-1)T是线性方程组

的一个解向量,试求
(Ⅰ)方程组(*)的全部解;
(Ⅱ)方程组满足x2=x3的全部解.

选项

答案(Ⅰ)将ξ0代入方程组,得-λ+μ=0,即λ=μ,代入增广矩阵,并作初等行变换, [*] 当λ≠2时,r(A)=r(A[*]b)=3. Ax=0有基础解系ξ=(-2,1,-1,2)T,Ax=b有特解η=(-1,0,0,1)T, Ax=b的通解为 kξ+η=k(-2,1,-1,2)T+(-1,0,0,1)T =(-2k-1,k,-k,2k+1)T, 其中k是任意常数. 当λ=2时,r(A)=r(A[*]b)=2. Ax=0有基础解系ξ1=(-4,1,0,2)T,ξ2=(-2,0,1,0)T,Ax=b有特解η=(-1,0,0,1)T, Ax=b的通解为 k1ξ1+k2ξ2+η=k1(-4,1,0,2)T+k2(-2,0,1,0)+(-1,0,0,1)T =(-4k1-2k2-1,k1,k2,2k1+1)T, 其中k1,k2是任意常数. (Ⅱ)当λ≠2时,由x2=x3,有k=-k,得k=0.故满足x2=x3的全部解为(-1,0,0,1)T. 当λ=2时,由x2=x3,有k1=k2. 故满足x2=x3的全部解为(-6k1-1,k1,k1,2k1+1)T,其中k1是任意常数.

解析
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