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  3. [2004年] 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．

[2004年] 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．

admin2019-04-05  56
问题 [2004年]  设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．
选项
答案因待证的不等式中含有两函数之差，可用拉格朗日中值定理证明，也可用单调性证明，还可用柯西中值定理证之． 证一 对ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得ln2b—ln2a=[*](b一a)，a＜ξ＜b． 设φ(t)=[*]，则φ′(t)=[*]，当t＞e时，φ′(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，即 [*]， 故 ln2b—ln2a＞[*] 证二． 设φ(x)=ln2x－4x／e2，则φ′(x)=2[*]，φ″(x)=2[*]，所以当x＞e时， φ″(x)＜0，故φ′(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ′(x)>φ′(e2)=4／e2—4／e2=0，即当 e＜x＜e2时，φ(x)单调增加．因此当e＜a＜b＜e2时，cp(b)＞φ(a)，即 ln2b一(4／e2)b＞ln2a一(4／e2)以， 故 ln2b—ln2a＞4(6一a)／e2．
解析
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考研数学二

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