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[2004年] 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．
[2004年] 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．
admin
2019-04-05
59
问题
[2004年] 设e＜a＜b＜e
2
，证明ln
2
b—ln
2
a＞4(b一a)／e
2
．
选项
答案
因待证的不等式中含有两函数之差，可用拉格朗日中值定理证明，也可用单调性证明，还可用柯西中值定理证之． 证一 对ln
2
x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得ln
2
b—ln
2
a=[*](b一a)，a＜ξ＜b． 设φ(t)=[*]，则φ′(t)=[*]，当t＞e时，φ′(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e
2
)，即 [*]， 故 ln
2
b—ln
2
a＞[*] 证二． 设φ(x)=ln
2
x－4x／e
2
，则φ′(x)=2[*]，φ″(x)=2[*]，所以当x＞e时， φ″(x)＜0，故φ′(x)单调减少，从而当e＜x＜e
2
时，φ′(x)>φ′(e
2
)=4／e
2
—4／e
2
=0，即当 e＜x＜e
2
时，φ(x)单调增加．因此当e＜a＜b＜e
2
时，cp(b)＞φ(a)，即 ln
2
b一(4／e
2
)b＞ln
2
a一(4／e
2
)以， 故 ln
2
b—ln
2
a＞4(6一a)／e
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0PV4777K
0
考研数学二
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