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  3. 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P-1AP=A．

设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P-1AP=A．

admin2018-09-20  51
问题 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P-1AP=A．
选项
答案设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=ααTξ=λξ． ① 若αTξ=0，则λξ=0,ξ≠0，故λ=0； 若αTξ≠0，①式两端左边乘αT， αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)． 因αTξ≠0，故λ=αTα=[*] 再求A的对应于λ的特征向量． 当λ=0时， [*] 即解方程 a1x1+a2x2+…+anxn=0， 得特征向量为(设a1≠0) ξ=[a2，一a1，0，…，0]T， ξ=[a3，0，-a1，0]T， …… ξn-1=[an，0，0，…，一a1]T [*] 由观察知ξn=[a1，a2，…，an]T．
解析
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考研数学三

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