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设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
设α=[a1,a2,…,an]T≠0,A=ααT,求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
admin
2018-09-20
20
问题
设α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
≠0,A=αα
T
,求可逆矩阵P,使P
-1
AP=A.
选项
答案
设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=αα
T
ξ=λξ. ① 若α
T
ξ=0,则λξ=0,ξ≠0,故λ=0; 若α
T
ξ≠0,①式两端左边乘α
T
, α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ). 因α
T
ξ≠0,故λ=α
T
α=[*] 再求A的对应于λ的特征向量. 当λ=0时, [*] 即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0, 得特征向量为(设a
1
≠0) ξ=[a
2
,一a
1
,0,…,0]
T
, ξ=[a
3
,0,-a
1
,0]
T
, …… ξ
n-1
=[a
n
,0,0,…,一a
1
]
T
[*] 由观察知ξ
n
=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0RW4777K
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考研数学三
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