设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为X~,而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

admin2019-07-01  49

问题 设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为X~,而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

选项

答案由题设,设FY(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,得U=X+Y的分布函数为G(u)=P{X+Y≤u}=0.3P{X+Y≤u|X=1}+0.7P{X+Y≤u|X=2} =0.3P{Y≤u-1|X=1}+0.7P{Y≤u-2|X=2} 由已知X与Y独立,则P{Y≤u-1|X=1}=P{Y≤u-1} 且P{Y≤u-2|X=2}=P{Y≤u-2} 所以G(u)=0.3P{Y≤u-1}+0.7P{Y≤u-2}=0.3F(u-1)+0.7F(u-2), 因此U=X+Y的概率密度为g(u)=G(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2).

解析
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