设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X～，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．

admin2019-07-01 57

问题设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X～

，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．

选项

答案由题设，设F_Y(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，得U=X+Y的分布函数为G(u)=P{X+Y≤u}=0．3P{X+Y≤u｜X=1}+0．7P{X+Y≤u｜X=2} =0．3P{Y≤u-1｜X=1}+0．7P{Y≤u-2｜X=2} 由已知X与Y独立，则P{Y≤u-1｜X=1}=P{Y≤u-1} 且P{Y≤u-2｜X=2}=P{Y≤u-2} 所以G(u)=0．3P{Y≤u-1}+0．7P{Y≤u-2}=0．3F(u-1)+0．7F(u-2)，因此U=X+Y的概率密度为g(u)=G^’(u)=0．3f(u-1)+0．7f(u-2)．

解析

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将一枚均匀硬币连掷3次，X为这3次抛掷中正面出现的次数，Y为这3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值．试巧出(X，Y)的分布列和关于X，Y的边缘分布列，并判断X与Y是否独立．
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