求微分方程y"一3y’+2y=2xex的通解．

admin2016-01-15 38

问题求微分方程y"一3y’+2y=2xe^x的通解．

选项

答案齐次方程y"一3y’+2y=0的特征方程为r²一3r+2=0，由此得r₁=2，r₂=1．即对应齐次方程的通解为 Y=C₁e^2x+C₂e^x．设非齐次方程的特解为 y^*=(ax+b)xe^x．则 (y^*)’=[ax^x+(2a+b)x+b]e^x，(y^*)"=[ax+(4a+b)x+2a+2b]e^x．代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解为 y=C₁e^2x+C₂e^x一x(x+2)e^x．(C₁，C₂为任意常数)

解析

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