2. 考研
  3. 设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B= (1)求A的特征值； (2)若ξ1=[1，1，0]T，ξ2=[2，2，0]T，ξ3=[0，2，1]T，ξ4=[5，-1，-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特征向量；

设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B= (1)求A的特征值； (2)若ξ1=[1，1，0]T，ξ2=[2，2，0]T，ξ3=[0，2，1]T，ξ4=[5，-1，-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特征向量；

admin2018-09-20  55
问题 设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B=
    (1)求A的特征值；
    (2)若ξ1=[1，1，0]T，ξ2=[2，2，0]T，ξ3=[0，2，1]T，ξ4=[5，-1，-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特征向量；
    (3)求矩阵A．
选项
答案(1)由A～B，知A，B有相同的秩和特征值．显然r(B)=1，B有特征值λ1=λ2=0且λ1+λ2+λ3=[*]=1+4+9，得λ3=14．故A有特征值λ1=λ2=0，λ3=14． (2)λ1=λ2=0是A的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知ξ1=[1，1，0]T，ξ3=[0，2，1]T线性无关(取ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的极大线性无关组，不唯一)，故取η1=ξ1，η2=ξ3为λ=0的线性无关特征向量，因A是实对称矩阵，将λ3=14对应的特征向量设为η3=[x1，x2，x3]T，则η3与η1，η2正交，即η1Tη3=0，η2Tη3=0．于是有 [*] 解得基础解系为η3=[1，一1，2]T，故λ3=14对应的特征向量为kη3(其中k为任意不为0的常数)． (3)令P=[η1，η2，η3]，则 [*]
解析
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考研数学三

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