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设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B= (1)求A的特征值; (2)若ξ1=[1,1,0]T,ξ2=[2,2,0]T,ξ3=[0,2,1]T,ξ4=[5,-1,-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量,求A的对应于λ3的特征向量;
设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B= (1)求A的特征值; (2)若ξ1=[1,1,0]T,ξ2=[2,2,0]T,ξ3=[0,2,1]T,ξ4=[5,-1,-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量,求A的对应于λ3的特征向量;
admin
2018-09-20
56
问题
设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B=
(1)求A的特征值;
(2)若ξ
1
=[1,1,0]
T
,ξ
2
=[2,2,0]
T
,ξ
3
=[0,2,1]
T
,ξ
4
=[5,-1,-3]
T
都是A的对应于λ
1
=λ
2
=0的特征向量,求A的对应于λ
3
的特征向量;
(3)求矩阵A.
选项
答案
(1)由A~B,知A,B有相同的秩和特征值.显然r(B)=1,B有特征值λ
1
=λ
2
=0且λ
1
+λ
2
+λ
3
=[*]=1+4+9,得λ
3
=14.故A有特征值λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=14. (2)λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,对应的线性无关特征向量最多有两个,由题设知ξ
1
=[1,1,0]
T
,ξ
3
=[0,2,1]
T
线性无关(取ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,ξ
4
的极大线性无关组,不唯一),故取η
1
=ξ
1
,η
2
=ξ
3
为λ=0的线性无关特征向量,因A是实对称矩阵,将λ
3
=14对应的特征向量设为η
3
=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则η
3
与η
1
,η
2
正交,即η
1
T
η
3
=0,η
2
T
η
3
=0.于是有 [*] 解得基础解系为η
3
=[1,一1,2]
T
,故λ
3
=14对应的特征向量为kη
3
(其中k为任意不为0的常数). (3)令P=[η
1
,η
2
,η
3
],则 [*]
解析
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考研数学三
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