设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B= (1)求A的特征值; (2)若ξ1=[1,1,0]T,ξ2=[2,2,0]T,ξ3=[0,2,1]T,ξ4=[5,-1,-3]T都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量,求A的对应于λ3的特征向量;

admin2018-09-20  24

问题 设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B=
    (1)求A的特征值;
    (2)若ξ1=[1,1,0]T,ξ2=[2,2,0]T,ξ3=[0,2,1]T,ξ4=[5,-1,-3]T都是A的对应于λ12=0的特征向量,求A的对应于λ3的特征向量;
    (3)求矩阵A.

选项

答案(1)由A~B,知A,B有相同的秩和特征值.显然r(B)=1,B有特征值λ12=0且λ123=[*]=1+4+9,得λ3=14.故A有特征值λ12=0,λ3=14. (2)λ12=0是A的二重特征值,对应的线性无关特征向量最多有两个,由题设知ξ1=[1,1,0]T,ξ3=[0,2,1]T线性无关(取ξ1,ξ2,ξ3,ξ4的极大线性无关组,不唯一),故取η11,η23为λ=0的线性无关特征向量,因A是实对称矩阵,将λ3=14对应的特征向量设为η3=[x1,x2,x3]T,则η3与η1,η2正交,即η1Tη3=0,η2Tη3=0.于是有 [*] 解得基础解系为η3=[1,一1,2]T,故λ3=14对应的特征向量为kη3(其中k为任意不为0的常数). (3)令P=[η1,η2,η3],则 [*]

解析
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