2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1＝aχ＋2by＋3c＝0， l2＝bχ＋2cy＋3a＝0， l3＝cχ＋2ay＋3b＝0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1＝aχ＋2by＋3c＝0， l2＝bχ＋2cy＋3a＝0， l3＝cχ＋2ay＋3b＝0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2016-05-09  63
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1＝aχ＋2by＋3c＝0，
    l2＝bχ＋2cy＋3a＝0，
    l3＝cχ＋2ay＋3b＝0，
    试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
选项
答案必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵A＝[*]与增广矩阵[*]的秩均为2，于是[*]＝0。 因为[*] ＝6(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) 3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]， 但根据题设可知(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故a＋b＋c＝0． 充分性：由a＋b＋c＝0，则从必要性的证明中可知，[*]＝0，故r([*])＜3．由于 [*] 故r(A)＝2．于是， r(A)＝r([*])＝2． 因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学一

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