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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1=aχ+2by+3c=0, l2=bχ+2cy+3a=0, l3=cχ+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1=aχ+2by+3c=0, l2=bχ+2cy+3a=0, l3=cχ+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2016-05-09
46
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
=aχ+2by+3c=0,
l
2
=bχ+2cy+3a=0,
l
3
=cχ+2ay+3b=0,
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
必要性:设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则其线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于是[*]=0。 因为[*] =6(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) 3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 但根据题设可知(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性:由a+b+c=0,则从必要性的证明中可知,[*]=0,故r([*])<3.由于 [*] 故r(A)=2.于是, r(A)=r([*])=2. 因此方程组(*)有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学一
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