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设A为n阶矩阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明
设A为n阶矩阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明
admin
2017-01-13
29
问题
设A为n阶矩阵(n≥2),A
*
为A的伴随矩阵,证明
选项
答案
当r(A)=n时,|A|≠0,则有|A
*
|=|A|
n-1
≠0,从而A
*
可逆,即r(A
*
)=n。 当r(A)=11—1时,由矩阵秩的定义知,A中至少有一个n一1阶子式不为零,即A
*
中至少有一个元素不为零,故r(A
*
)≥1。 又因r(A)=n一1时,有|A|=0,且由AA
*
=|A|E知AA
*
=O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A
*
)≤n, 把r(A)=n一1代入上式,得r(A
*
)≤1。 综上所述,有r(A
*
)=1。 当r(A)≤n一2时,A的所有n一1阶子式都为零,也就是A
*
的任一元素均为零,即A
*
=O,从而r(A
*
)=0。
解析
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考研数学二
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