2. 考研
  3. 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明： (1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．

设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明： (1)λi≠-1(i=1，2，…，n)； (2)AB=BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．

admin2018-08-02  48
问题 设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：
(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)；
(2)AB=BA；
(3)A的特征向量都是B的特征向量；
(4)B可相似对角化．
选项
答案(1)即证｜-E-A｜≠0，或｜E+A｜≠0或E+A可逆，这可由AB=A-B[*](A+E)(E-B)=E，[*]A+E可逆，且(A+E)-1=E-B． (2)由(1)的(A+E)-1=E-B，[*](A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)，即A-AB+E-B=A+E-BA-B，[*]AB=BA． (3)设x为A的属于特征值λi的特征向量，则Ax=λix，两端左乘B，并利用BA=AB，得A(Bx)=λi(Bx)，若Bx≠0，则Bx亦为A的属于λi的特征向量，因属于λi的特征子空间是一维的，故存在常数μ，使Bx=μx，因此x也是B的特征向量；若Bx=0，则Bx=0x，x也是B的属于特征值0的特征向量． (4)由条件知A有n个线性无关的特征向量，于是由(3)知B也有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．
解析
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考研数学二

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