2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B

admin2019-07-16  23
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
    (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1一α1，进一步 A3α1=α1， A5α1=α1， 故 Bα1=(A5一4A3+E)α1 =A5α1—4A3α1+α1 =α1一4α1+α1 =一2α1。 从而α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。 因B=A5一4A3+E，且A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，则B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，μ3=1。 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又A为对称矩阵，得B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即 α1Tα2=0， α1Tα3==0。 所以α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 即b的全部特征值的特征向量为： [*] 其中k1≠0是不为零的任意常数，k2，k3是不同时为零的任意常数。 (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)=[*]，得 [*]
解析
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考研数学三

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