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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B
设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B
admin
2019-07-16
52
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量。记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
得A
2
α
1
=Aα
1
一α
1
,进一步 A
3
α
1
=α
1
, A
5
α
1
=α
1
, 故 Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
—4A
3
α
1
+α
1
=α
1
一4α
1
+α
1
=一2α
1
。 从而α
1
是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。 因B=A
5
一4A
3
+E,且A的三个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,则B的三个特征值为μ
1
=一2,μ
2
=1,μ
3
=1。 设α
2
,α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量,又A为对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α
1
与α
2
,α
3
正交,即 α
1
T
α
2
=0, α
1
T
α
3
==0。 所以α
2
,α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解: [*] 即b的全部特征值的特征向量为: [*] 其中k
1
≠0是不为零的任意常数,k
2
,k
3
是不同时为零的任意常数。 (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*],得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1AJ4777K
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考研数学三
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