2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内( )．

设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内( )．

admin2019-06-25  52
问题 设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内(    )．
选项 A、单调增加
B、单调减少
C、有极小值
D、有极大值
答案D
解析 因为F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ＝t∫01f(tχ)dχ－t∫01f(χ)dχ，其中

于是F(t)＝∫0tf(u)du－t∫01f(χ)dχ，F′(t)＝f(t)－∫01(χ)dχ．
    令F′(t)＝0，即f(t)＝∫01f(χ)dχ，由积分中值定理知
    ∫01f(χ)dχ＝f(ξ).1＝f(ξ)，ξ∈(0，1)，
    所以，t＝ξ是F(t)的驻点．
    由于f(χ)在[0，1]上单减，当0＜t＜ξ时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＞0；
    当ξ＜t＜1时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＜0，则F(t)在t＝ξ点取得极大值．
    故应选D．
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考研数学三

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