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(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．
(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．
admin
2020-01-15
112
问题
(Ⅰ)设f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
1
2
＋2x
2
2
＋6x
3
2
－2x
1
x
2
＋2x
1
x
3
－6x
2
x
3
，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；
(Ⅱ)设A＝
，求可逆矩阵D，使A＝D
T
D．
选项
答案
(Ⅰ)将f(x
1
，x
2
，x
3
)用配方法化为标准形，得 f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
1
2
＋2x
2
2
＋6x
3
2
－2x
1
x
2
＋2x
1
x
3
－6x
2
x
3
＝(x
1
－x
2
＋x
3
)
2
＋x
2
2
＋5x
3
2
－4x
2
x
3
＝(x
1
－x
2
＋x
3
)
2
＋(x
2
－2x
3
)
2
＋x
3
2
． [*] 得f的标准形为 f(x
1
，x
2
，x
3
)＝y
1
2
＋y
2
3
＋y
3
2
；． 所作的可逆线性变换为x＝Cy，其中C＝[*]． 二次型的规范形为y
1
2
＋y
2
2
＋y
3
2
，正惯性指数p＝3＝r(A)，故知对应矩阵A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明)． (Ⅱ)法一 由题设知，A＝[*] 是f(x
1
，x
2
，x
3
)的对应矩阵，即f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
T
AX． 令x＝Cy，其中C＝[*]，得f＝x
T
AX＝y
T
C
T
Cy＝y
T
Ey，故C
T
AC＝E，A＝(C
－1
)
T
C
－1
＝D
T
D，其中D＝C
－1
． [*] 法二 由(Ⅰ)知，f(x
1
，x
2
，x
3
)＝(x
1
－x
2
＋x
3
)
2
＋(x
2
－2x
3
)
2
＋x
3
2
； ＝(x
1
－x
2
＋x
3
，x
2
－2x
3
，x
3
) [*]
解析
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考研数学一
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