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(Ⅰ)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵; (Ⅱ)设A=,求可逆矩阵D,使A=DTD.
(Ⅰ)设f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵; (Ⅱ)设A=,求可逆矩阵D,使A=DTD.
admin
2020-01-15
84
问题
(Ⅰ)设f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
-2x
1
x
2
+2x
1
x
3
-6x
2
x
3
,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵;
(Ⅱ)设A=
,求可逆矩阵D,使A=D
T
D.
选项
答案
(Ⅰ)将f(x
1
,x
2
,x
3
)用配方法化为标准形,得 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+6x
3
2
-2x
1
x
2
+2x
1
x
3
-6x
2
x
3
=(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+x
2
2
+5x
3
2
-4x
2
x
3
=(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+(x
2
-2x
3
)
2
+x
3
2
. [*] 得f的标准形为 f(x
1
,x
2
,x
3
)=y
1
2
+y
2
3
+y
3
2
;. 所作的可逆线性变换为x=Cy,其中C=[*]. 二次型的规范形为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
,正惯性指数p=3=r(A),故知对应矩阵A是正定矩阵(也可用定义证明,或用顺序主子式全部大于零证明). (Ⅱ)法一 由题设知,A=[*] 是f(x
1
,x
2
,x
3
)的对应矩阵,即f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
AX. 令x=Cy,其中C=[*],得f=x
T
AX=y
T
C
T
Cy=y
T
Ey,故C
T
AC=E,A=(C
-1
)
T
C
-1
=D
T
D,其中D=C
-1
. [*] 法二 由(Ⅰ)知,f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
-x
2
+x
3
)
2
+(x
2
-2x
3
)
2
+x
3
2
; =(x
1
-x
2
+x
3
,x
2
-2x
3
,x
3
) [*]
解析
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考研数学一
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