求证：x∈[0,1]时， ≤xp+(1－x)p≤1，p＞1；1≤xp+(1－x)p≤，0＜p＜1．

admin2018-11-11 36

问题求证：x∈[0,1]时，

≤x^p+(1－x)^p≤1，p＞1；1≤x^p+(1－x)^p≤

，0＜p＜1．

选项

答案令f(x)=x^p+(1－x)^p，则f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且有 f’(x)=p[x^p－1－(1－x)^p－1]．令f’(x)=0得x=[*]．易知 f(0)=f(1)=1，[*] 当p＞1时，1＞[*]=>f(x)在[0，1]的最大值为1，最小值为[*] =>[*]≤f(x)≤1，x∈[0，1]．当0＜p＜1时，1＜[*] => f(x)在[0，1]的最大值为[*]，最小值为1 =>≤f(x)≤[*]，x∈[0，1]．

解析

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