设f(χ)连续且关于χ＝T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(χ)dχ＝2∫Tbf(χ)dχ＋∫a2T-bf(χ)dχ．

admin2021-11-09 37

问题设f(χ)连续且关于χ＝T对称，a＜T＜b．证明：∫_a^bf(χ)dχ＝2∫_T^bf(χ)dχ＋∫_a^2T-bf(χ)dχ．

选项

答案由f(χ)关于χ＝T对称得．f(T＋χ)＝f(T－χ)，于是∫_T^2T－bf(χ)dχ[*]∫_T^bf(2T－u)(－du)＝－∫_T^bf[T－(u－T)]du ＝－∫_T^bf[T＋(u－T)]du＝－∫_T^bf(χ)dχ 得∫_T^bf(χ)dχ＋∫_T^2T－bf(χ)dχ＝0，故∫_a^bf(χ)dχ＝∫_a^bf(χ)dχ＋∫_T^bf(χ)dχ＋∫_T^2T－bf(χ)dχ ＝∫_a^Tf(χ)dχ＋∫_T^bf(χ)dχ＋∫_T^bf(χ)dχ＋∫_T^2T－bf(χ)dχ 2∫_T^bf(χ)dχ＋∫_a^2T－bf(χ)dχ．

解析

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