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(2001年试题,十)设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0,(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明在[一a,a]上至少存在一点η,使
(2001年试题,十)设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0,(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明在[一a,a]上至少存在一点η,使
admin
2021-01-19
107
问题
(2001年试题,十)设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0,(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明在[一a,a]上至少存在一点η,使
选项
答案
由题设,[*]其中ξ在0与x之间且x∈[一a,a],又由已知f(0)=0,从而可得所带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为[*]将式(1)两边在区间[一a,a]上作定积分,得[*]即[*]注意ξ在0与x之间,随x变化而变化,所以式(2)右端[*]即f
’’
(ξ)不是常数,不能提到积分号外,由题设f(x)二阶导数连续,则f
’’
(x)在[一a,a]上有最小值m和最大值M,即当x∈[一a,a]时,mf
’’
(x)≤M,从而[*]代入式(2)得[*]即[*]由连续函数在闭区间上的介值定理知,存在η∈[一a,a],使得[*]即[*]
解析
ξ的取值与x有关,而不要误以为是常数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1V84777K
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考研数学二
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