2. 考研
  3. (2001年试题，十)设f(x)在区间[一a，a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0，(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使

(2001年试题，十)设f(x)在区间[一a，a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0，(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使

admin2021-01-19  145
问题 (2001年试题，十)设f(x)在区间[一a，a](a>0)上具有二阶连续导数f(0)=0，(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使
选项
答案由题设，[*]其中ξ在0与x之间且x∈[一a，a]，又由已知f(0)=0，从而可得所带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为[*]将式(1)两边在区间[一a，a]上作定积分，得[*]即[*]注意ξ在0与x之间，随x变化而变化，所以式(2)右端[*]即f’’(ξ)不是常数，不能提到积分号外，由题设f(x)二阶导数连续，则f’’(x)在[一a，a]上有最小值m和最大值M，即当x∈[一a，a]时，mf’’(x)≤M，从而[*]代入式(2)得[*]即[*]由连续函数在闭区间上的介值定理知，存在η∈[一a，a]，使得[*]即[*]
解析 ξ的取值与x有关，而不要误以为是常数．
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考研数学二

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