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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2018-07-27  78
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案1 对方程组的系数矩阵A作初等行变换： [*] (1)当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为ξ1=(－1，1，0，…，0)T，ξ2=(－1，0，1，…，0)T，…，ξn－1=(－1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为 x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－1ξn－1，其中k1，…，kn－1为任意常数． (2)当a≠0时，对矩阵B作初等行变换： [*] 可知a=－[*]时，r(A)=n－1＜n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=2x1，x3=3x1，…，xn=nx1 (x1任意)， 由此得基础解系为ξ=(1，2，3，…，n)T，于是方程组用基础解系表示的通解为 x=kξ，其中k为任意常数． 2 方程组的系数行列式为 [*] 当|A|=0，即a=0或a=－[*]时，方程组有非零解． 当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，以下同解1． 当a=－[*]时，对系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 以下同解1．
解析
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考研数学三

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