(1)比较∫01|lnt|[ln(1+t)n]dt与∫01tn|lnt|dt(n=1,2,…)的大小,说明理由. (2)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限.

admin2016-01-15  29

问题 (1)比较∫01|lnt|[ln(1+t)n]dt与∫01tn|lnt|dt(n=1,2,…)的大小,说明理由.
(2)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限

选项

答案(1)令 f(t)=ln(1+t)一t. 当0≤t≤1时,f’(t)=[*]一1≤0,故当0≤t≤1时,f(t)≤f(0)=0, 即当0≤t≤1时,0≤ln(1+t)≤t≤1,从而[ln(1+t)]n≤tn(n=1,2,…). 又由|lnt|≥0得 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndz≤∫01tn|lnt|dt(n=1,2,…) (2)由(1)知,0≤un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤∫01tn|lnt|dt, 因为 [*]

解析
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