设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量. (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=A. (3)求A及[A-(3/2)E]6.

admin2018-06-27  29

问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
(1)求A的特征值和特征向量.
(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=A.
(3)求A及[A-(3/2)E]6

选项

答案(1)条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0. 属于3的特征向量:cα0,c≠0. 属于0的特征向量:c1α1+c2α2,c1,c2不都为0. (2)将α0单位化,得η0=[*] 对α1,α2作施密特正交化,得 [*] 作Q=(η0,η1,η2),则Q是正交矩阵,并且 QTAQ=Q-1AQ=[*] (3)建立矩阵方程A(α0,α1,α2)=(3α0,0,0),用初等变换法求解:得 [*] 由Q-1AQ=[*] 得 A=Q[*]Q-1. 于是 A-(3/2)E=[*]Q-1. [A-(3/2)E]6=(3/2)6E.

解析
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