2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解． (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=A． (3)求A及[A-(3／2)E]6．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解． (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=A． (3)求A及[A-(3／2)E]6．

admin2018-06-27  48
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．
(1)求A的特征值和特征向量．
(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=A．
(3)求A及[A-(3／2)E]6．
选项
答案(1)条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即α0=(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0． 属于3的特征向量：cα0，c≠0． 属于0的特征向量：c1α1+c2α2，c1，c2不都为0． (2)将α0单位化，得η0=[*] 对α1，α2作施密特正交化，得 [*] 作Q=(η0，η1，η2)，则Q是正交矩阵，并且 QTAQ=Q-1AQ=[*] (3)建立矩阵方程A(α0，α1，α2)=(3α0，0，0)，用初等变换法求解：得 [*] 由Q-1AQ=[*] 得 A=Q[*]Q-1． 于是 A-(3／2)E=[*]Q-1． [A-(3／2)E]6=(3／2)6E．
解析
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考研数学二

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