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设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:在[-a,a]上存在η,使a3f’’(η)=3∫-aaf(x)dx.
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:在[-a,a]上存在η,使a3f’’(η)=3∫-aaf(x)dx.
admin
2018-09-25
35
问题
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.
(1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2)证明:在[-a,a]上存在η,使a
3
f’’(η)=3∫
-a
a
f(x)dx.
选项
答案
(1)对任意x∈[-a,a],有 [*] (2)∫
-a
a
f(x)dx=∫
-a
a
f’(0)xdx+[*]∫
-a
a
f’’(ξ)x
2
dx=[*]∫
-a
a
f’’(ξ)xdx. 因为f’’(x)在[-a,a]上连续,由最值定理:m≤f’’(x)≤M,x∈[-a,a]. mx
2
≤f’’(ξ)x
2
≤Mx
2
, [*]ma
3
=m∫
-a
a
x
2
dx≤∫
-a
a
f’’(ξ)x
2
dx≤M∫
-a
a
x
2
dx=[*]Ma
3
, [*] 介值定理,存在η∈[-a,a],使得 [*]
解析
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考研数学一
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