2. 考研
  3. 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在[－a，a]上存在η，使a3f’’(η)=3∫－aaf(x)dx．

设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0． (1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在[－a，a]上存在η，使a3f’’(η)=3∫－aaf(x)dx．

admin2018-09-25  73
问题 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：在[－a，a]上存在η，使a3f’’(η)=3∫－aaf(x)dx．
选项
答案(1)对任意x∈[－a，a]，有 [*] (2)∫－aaf(x)dx=∫－aaf’(0)xdx+[*]∫－aaf’’(ξ)x2dx=[*]∫－aa f’’(ξ)xdx． 因为f’’(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤f’’(x)≤M，x∈[－a，a]． mx2≤f’’(ξ)x2≤Mx2， [*]ma3=m∫－aax2dx≤∫－aaf’’(ξ)x2dx≤M∫－aa x2dx=[*]Ma3， [*] 介值定理，存在η∈[－a，a]，使得 [*]
解析
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考研数学一

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