设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:在[-a,a]上存在η,使a3f’’(η)=3∫-aaf(x)dx.

admin2018-09-25  35

问题 设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.
(1)写出f(x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2)证明:在[-a,a]上存在η,使a3f’’(η)=3∫-aaf(x)dx.

选项

答案(1)对任意x∈[-a,a],有 [*] (2)∫-aaf(x)dx=∫-aaf’(0)xdx+[*]∫-aaf’’(ξ)x2dx=[*]∫-aa f’’(ξ)xdx. 因为f’’(x)在[-a,a]上连续,由最值定理:m≤f’’(x)≤M,x∈[-a,a]. mx2≤f’’(ξ)x2≤Mx2, [*]ma3=m∫-aax2dx≤∫-aaf’’(ξ)x2dx≤M∫-aa x2dx=[*]Ma3, [*] 介值定理,存在η∈[-a,a],使得 [*]

解析
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