设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,如果α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T,3α1+α2=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是________。

admin2019-05-19  47

问题 设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,如果α12+2α3=(2,0,0,0)T,3α12=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是________。

选项

答案([*],0,0,0)T+k(0,2,3,4)T,k为任意常数

解析 由于r(A)=3,所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r(A)=1个解向量。又因为
(α12+2α3)一(3α12)=2(α3一α1)=(0,一4,一6,一8)T
是Ax=0的解,所以其基础解系为(0,2,3,4)T,由
A(α12+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b,可知(α123)是方程组Ax=b的一个解,根据非齐次线性方程组的解的结构可知,其通解是(,0,0,0)T+k(0,2,3,4)T,k为任意常数。
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