设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T，3α1+α2=（2，4，6，8）T，则方程组Ax=b的通解是________。

admin2019-05-19 66

问题设A是秩为3的5×4矩阵，α₁，α₂，α₃是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α₁+α₂+2α₃=（2，0，0，0）^T，3α₁+α₂=（2，4，6，8）^T，则方程组Ax=b的通解是________。

选项

答案（[*]，0，0，0）^T+k（0，2，3，4）^T，k为任意常数

解析由于r（A）=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r（A）=1个解向量。又因为
（α₁+α₂+2α₃）一（3α₁+α₂）=2（α₃一α₁）=（0，一4，一6，一8）^T
是Ax=0的解，所以其基础解系为（0，2，3，4）^T，由
A（α₁+α₂+2α₃）=Aα₁+Aα₂+2Aα₃=4b，可知

（α₁+α₂+α₃）是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是（

，0，0，0）^T+k（0，2，3，4）^T，k为任意常数。

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考研数学三

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