设3阶矩阵A=． (Ⅰ)T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

admin2018-03-30 47

问题设3阶矩阵A=

．
(Ⅰ)^T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；
(Ⅱ)^T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)因为A≌B→r(A)=r(B)．由B=[*]，知r(B)=2．显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，A≌B． (Ⅱ)｜λE—C｜=[*]=(λ一2)[(λ一2)²一1]=(λ一2)(λ一3)(λ一1)，则C有三个不同的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，且存在可逆矩阵P，使得P^-1CP=[*] ｜λE一A｜=[*]=(λ—t)[(λ一2)²—1]=(λ一t)(λ一3)(λ一1)．当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得 Q^-1AQ=[*]=P^-1CP．从而有 (QP^-1)^-1A(QP^-1)=C，即A～C．

解析

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考研数学三

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