2. 考研
  3. 设3阶矩阵A=． (Ⅰ)T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

设3阶矩阵A=． (Ⅰ)T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由； (Ⅱ)T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．

admin2018-03-30  48
问题 设3阶矩阵A=．
(Ⅰ)T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；
(Ⅱ)T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．
选项
答案(Ⅰ)因为A≌B→r(A)=r(B)． 由B=[*]，知r(B)=2． 显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，A≌B． (Ⅱ)｜λE—C｜=[*]=(λ一2)[(λ一2)2一1]=(λ一2)(λ一3)(λ一1)， 则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得P-1CP=[*] ｜λE一A｜=[*]=(λ—t)[(λ一2)2—1]=(λ一t)(λ一3)(λ一1)． 当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得 Q-1AQ=[*]=P-1CP． 从而有 (QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．
解析
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考研数学三

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