设3阶矩阵A=. (Ⅰ)T为何值时,矩阵A,B等价?说明理由; (Ⅱ)T为何值时,矩阵A,C相似?说明理由.

admin2018-03-30  40

问题 设3阶矩阵A=
(Ⅰ)T为何值时,矩阵A,B等价?说明理由;
(Ⅱ)T为何值时,矩阵A,C相似?说明理由.

选项

答案(Ⅰ)因为A≌B→r(A)=r(B). 由B=[*],知r(B)=2. 显然,当t=0时,有r(A)=r(B)=2,A≌B. (Ⅱ)|λE—C|=[*]=(λ一2)[(λ一2)2一1]=(λ一2)(λ一3)(λ一1), 则C有三个不同的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3,且存在可逆矩阵P,使得P-1CP=[*] |λE一A|=[*]=(λ—t)[(λ一2)2—1]=(λ一t)(λ一3)(λ一1). 当t=2时,A有与C一样的三个不同的特征值.故知,当t=2时,有可逆矩阵Q,使得 Q-1AQ=[*]=P-1CP. 从而有 (QP-1)-1A(QP-1)=C,即A~C.

解析
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