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设二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,且|A|<0. (Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0,使得ξ0TAξ0<0; (Ⅱ)设A=,是否存在ξ0,使得ξ0TAξ0<0.若存在ξ0,则求ξ0,若不存在,说明理由.
设二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,且|A|<0. (Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0,使得ξ0TAξ0<0; (Ⅱ)设A=,是否存在ξ0,使得ξ0TAξ0<0.若存在ξ0,则求ξ0,若不存在,说明理由.
admin
2019-01-24
99
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=x
T
Ax,且|A|<0.
(Ⅰ)证明存在n维列向量ξ
0
,使得ξ
0
T
Aξ
0
<0;
(Ⅱ)设A=
,是否存在ξ
0
,使得ξ
0
T
Aξ
0
<0.若存在ξ
0
,则求ξ
0
,若不存在,说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)设A有特征值λ
i
,i=0,1,2,…,n-1,则|A|=[*]<0. 由上可知A有奇数个特征值小于零.设λ
0
<0,其对应的特征向量为ξ
0
,则有Aξ
0
=λ
0
ξ
0
,其中ξ
0
≠0. 两端右乘ξ
0
T
,得ξ
0
T
Aξ
0
=λ
0
ξ
0
T
ξ
0
.因ξ
0
≠O,故有ξ
0
T
ξ
0
>0. 又λ
0
<0,故ξ
0
T
Aξ
0
=λ
0
ξ
0
T
ξ
0
<0,得证存在n维列向量ξ
0
,使得ξ
0
T
Aξ
0
<0. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知先求A的特征值.A的特征多项式为 [*] 由上可得A的负特征值λ
0
=-4.故知存在ξ
0
,使ξ
0
T
Aξ
0
<0.其中ξ
0
是λ
0
=-4对应的特征向量. 由[*] 解得λ
0
=-4对应的特征向量为[*] 此时[*] 【注】对应于A的二次型为f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
2
3
+2x
1
x
2
+8x
1
x
3
+2x
2
x
3
,取x
2
=0时,有3x
2
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
=0,只需取x
2
,x
3
异号,即取ξ
0
=(-1,0,1)
T
时,有f<0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1vM4777K
0
考研数学一
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