2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xTAx，且｜A｜＜0． (Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0； (Ⅱ)设A＝，是否存在ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．若存在ξ0，则求ξ0，若不存在，说明理由．

设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xTAx，且｜A｜＜0． (Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0； (Ⅱ)设A＝，是否存在ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．若存在ξ0，则求ξ0，若不存在，说明理由．

admin2019-01-24  40
问题 设二次型f(x1，x2，…，xn)＝xTAx，且｜A｜＜0．
(Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0；
(Ⅱ)设A＝，是否存在ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．若存在ξ0，则求ξ0，若不存在，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)设A有特征值λi，i＝0，1，2，…，n－1，则｜A｜＝[*]＜0． 由上可知A有奇数个特征值小于零．设λ0＜0，其对应的特征向量为ξ0，则有Aξ0＝λ0ξ0，其中ξ0≠0． 两端右乘ξ0T，得ξ0TAξ0＝λ0ξ0Tξ0．因ξ0≠O，故有ξ0Tξ0＞0． 又λ0＜0，故ξ0TAξ0＝λ0ξ0Tξ0＜0，得证存在n维列向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知先求A的特征值．A的特征多项式为 [*] 由上可得A的负特征值λ0＝－4．故知存在ξ0，使ξ0TAξ0＜0．其中ξ0是λ0＝－4对应的特征向量． 由[*] 解得λ0＝－4对应的特征向量为[*] 此时[*] 【注】对应于A的二次型为f(x1，x2，x3)＝3x23＋2x1x2＋8x1x3＋2x2x3，取x2＝0时，有3x22＋2x1x2＋2x2x3＝0，只需取x2，x3异号，即取ξ0＝(－1，0，1)T时，有f＜0．
解析
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考研数学一

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