设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用(I)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2021-01-19 51

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(I)的结果判断矩阵B一C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案证一因D为正定矩阵，而PTDP合同于D，由命题2．6．2．2(3)知，P^TDP为正定矩阵，即 [*] 为正定矩阵．选X=[*]及任意Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T≠0，则 [X^T，Y^T][*]=[X^TA,Y^T(B—C^TA^-1C)[*] =X^TAX+Y^T(B—C^TA^-1C)Y=Y^T(B—C^TA^-1C)y＞0．故B—C^TA^-1C为正定矩阵．证二由证一知，M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零．于是B—C^TA^-1C的各阶顺序主子式也大于零．又因M为对称矩阵，故B—C^TA^-1C也为实对称矩阵，由命题2．6．2．1(2)知，B—C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

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