设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用(I)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2021-01-19 45

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(I)的结果判断矩阵B一C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案证一因D为正定矩阵，而PTDP合同于D，由命题2．6．2．2(3)知，P^TDP为正定矩阵，即 [*] 为正定矩阵．选X=[*]及任意Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T≠0，则 [X^T，Y^T][*]=[X^TA,Y^T(B—C^TA^-1C)[*] =X^TAX+Y^T(B—C^TA^-1C)Y=Y^T(B—C^TA^-1C)y＞0．故B—C^TA^-1C为正定矩阵．证二由证一知，M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零．于是B—C^TA^-1C的各阶顺序主子式也大于零．又因M为对称矩阵，故B—C^TA^-1C也为实对称矩阵，由命题2．6．2．1(2)知，B—C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设y1(x)，y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．试写出此方程的通解．

设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证明：Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：

设fn(x)=Cn1cosx—Cn2cos2x+…+(一1)n-1Cnncosnx，证明：对任意自然数n，方程在区间内有且仅有一个根．

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设向量组α1,α2……αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α2，β+α2，…，β+αi线性无关．

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

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