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设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用(I)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用(I)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
admin
2021-01-19
62
问题
设D=
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(I)的结果判断矩阵B一C
T
A
-1
C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案
证一 因D为正定矩阵，而PTDP合同于D，由命题2．6．2．2(3)知，P
T
DP为正定矩阵，即 [*] 为正定矩阵．选X=[*]及任意Y=[y
1
，y
2
，…，y
n
]
T
≠0，则 [X
T
，Y
T
][*]=[X
T
A,Y
T
(B—C
T
A
-1
C)[*] =X
T
AX+Y
T
(B—C
T
A
-1
C)Y=Y
T
(B—C
T
A
-1
C)y＞0． 故B—C
T
A
-1
C为正定矩阵． 证二 由证一知，M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零．于是B—C
T
A
-1
C的各阶顺序主子式也大于零．又因M为对称矩阵，故B—C
T
A
-1
C也为实对称矩阵，由命题2．6．2．1(2)知，B—C
T
A
-1
C为正定矩阵．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2384777K
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考研数学二
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